月净威，哈佛大学科学家，道:“详细说明。单值解析函数的反函数可以是多值的。例如，幂函数和指数函数的反函数为根式函数和对数函数，它们都是多值的。另外，从一个解析函数元素出发沿一个闭曲线作解析开拓，最后可能得到不同的元素。因此，完全解析函数往往是多值的。在研究多值函数时，人们先把它分解为一个个单值解析分支，然后按这些分支之间的关系把它们连接起来。为研究，把扩充的复平面沿正实轴割开，记为╦1，它的边界是两条正实轴Л剂和Л奂，分别镶在第一象限的下边和第四象限的上边，在╦1上令就得到的一个单值解析分支，它在╦1的内部是解析的，并且连续到边界Л剂和Л奂上，但在和同一个正实数x对应的分别位于Л剂和Л奂上的两个点上，却分别取不同的值。设╦2是另一个沿正实轴割开的扩充的复平面，它的边界记为Л崹和Л崃。令就得到的另一个单值解析分支。与不同，在Л崹和Л崃上与正实数x对应的两个点处，值分别是。由于在Л剂和Л奂上的值分别与在Л崃和Л崹上的值相同，人们自然地把Л剂和Л崃以及Л奂和Л崹两两粘接起来，而把╦1和╦2拼接成一个整体，这就是的黎曼曲面。作为定义在这个曲面上的函数，包含了它的两个分支，同时是单值的。替多值函数构造一个适当的定义场所，而使得它成为一个完整的单值解析函数，这是黎曼的原始的思想。这样构造出来的，和lnz的黎曼曲面。把的黎曼曲面按原来的位置放在扩充的复平面上就成了扩充复平面的一个n叶覆盖曲面。曲面上的点O和∞叫做n-1级枝点。同样，lnz的黎曼曲面是（除去原点后的）复平面的无枝点的覆盖曲面。一般地说，复平面（或扩充的复平面）的任意的一个覆盖曲面都可看作一个黎曼曲面。设覆盖曲面中的点P位于复平面中的点z之上，则称z为P的投影。定义在曲面上的一个函数在非枝点处是否解析，就看它作为投影z的函数是否是解析的；而在投影为z0的n-1级枝点处，则要看它对于是否是解析的。这就是黎曼本人的原始的黎曼曲面的概念。黎曼曲面的经典理论是在这样的概念上发展起来的。一个完全解析函数或完全解析构形，把其中以z0为中心的函数元素看作放在z0上的点，自然就成了扩充平面的覆盖曲面，这就是它的黎曼曲面。一个代数函数w=w(z)的黎曼曲面是扩充平面的n叶覆盖曲面（n为对应的方程中w的最高次数）。例如，把上下两个平面中连接0，1和连接2，3的两个线段都割成裂缝，每一裂缝产生两条边，分别与平面上半部分和下半部分相连，用实线与虚线表示。然后把上平面中实线（虚线）所示的边和下平面中虚线（实线）所示的边粘接起来。（C.H.）H.外尔首先给出黎曼曲面的近代定义。”
与此同时，他也给出了“流形”这个近代数