精星灵，曰:“每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率-1，0或1的完备实黎曼流形。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为双曲的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为抛物的；C是典型的抛物黎曼曲面。最后，有曲率+1的黎曼曲面称为椭圆的；黎曼球C∪{∞}是这样的一个例子。对于每个闭抛物黎曼曲面，基本群同构于2阶格群，因而曲面可以构造为C/Γ，其中C是复平面而Γ是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。类似的，对每个双曲黎曼曲面，基本群同构于Fuchsian群，因而曲面可以由Fuchsian模型H/Γ构造，其中H是上半平面而Γ是Fuchsian群。H/Γ陪集的代表是自由正则集，可以作为度量基本多边形。当一个双曲曲面是紧的，则曲面的总面积是4\pi(g-1)，其中g是曲面的亏格(genus)；面积可由把Gauss-Bonnet定理应用到基本多边形的面积上来算出。前面我们提到黎曼曲面，象所有复流形，象实流形一样可定向。因为复图f和g有变换函数h=f(g-1(z))，我们可以认为h是从R2开集到R2的映射，在点z的雅戈比阵也就是由乘以复数h'(z)的运算给出的实线性变换。但是，乘以复数α的行列式等于|α|^2，所以h的雅戈比阵有正的行列式值。所以，复图集是可定向图集。黎曼最早开始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。”
月净威，哈佛大学科学家，道:“相关介绍。黎曼（G.F.BRiemann)1826年9月17日生于德国汉若威的布雷斯塞论茨，1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分为八个领域来论述。前4个领域是关于复分析方面的，他第一个有意识的将实域过渡到复域，开创了复变函数域，代数函数论，常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后4个领域主要涉及实分析，在积分理论，三角级理论，微分几何学，数学物理方程等方面取得重大突破。重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑方法，一般流形概念，联系拓扑与分析的黎曼－洛赫定理，代数几何学特别是阿贝尔簇以及参模等紧密相连，他的空间观念及黎曼几何更预示着广义相对论，正是他促发了现代数学的革命性变革。”
精星灵，曰:“黎曼流形。黎曼（德，1826－1866年）：几何观点，黎曼面。1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，其重要性恰如著名数学家阿尔福斯（芬－美，1907－1996年）所说：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，