第16章黎曼度量（2 / 3）

X、Y为互相正交。│尣│=1的向量称为单位向量，Tp(M）中由两两互相正交的单位向量组成的基称为正规正交基，对任一点P∈M，在P点的某一邻域U内总存在n个单位向量场e1，e2，…，en，使得在U的每点它们构成切空间的一个正规正交基，这n个局部向量场称为一个局部正规正交基或局部正规正交标架。运用局部正规正交标架来研究黎曼几何的方法称为活动标架法。黎曼几何中的许多公式和几何量在活动标架下有特别简单明了的表达式，例如取ω1，ω2，…，ωn为局部正规正交标架e1，e2，…，en的对偶形式，也称对偶基，即满足的n个一次微分形式，于是在基{ei}下，由于，度量形式可写为。任一仿紧微分流形总具有黎曼度量，这种黎曼度量的数目是非常繁多的，但也不是完全任意的。微分流形的度量结构是受它的拓扑结构所制约的，而这种制约关系正是黎曼几何研究的一个重要内容，还存在许多没有解决的问题。有了计算曲线长度的方法，黎曼流形（M，g）上任意两点P、Q之间的距离d(P，Q）就可以用M中连接P、Q的所有分段可微分曲线的长度的下确界来定义，即（连接P，Q的分段可微分曲线C）。于是，M在上述距离下成为一个度量空间，还可以证明，它所导出的度量拓扑与流形M原有的拓扑是等价的。”

精星灵，曰:“联络、平行移动。欧氏空间中两不同点的切向量可以用平行移动的方法移动到同一点处加以比较，而且这种平行移动与移动的道路无关。黎曼流形上不同点的切向量也可以用平行移动的方法加以比较，但一般说来，这时由于流形的弯曲，平行移动与移动的道路有关。设P(xi）为流形上任一点，{ei}，i=1，2，…，n为P点附近的一个局部标架，P+dP为P的一个无限邻近点，坐标为xi+dxi。定义P+dP点的切空间和P点的切空间的一个线性对应，使得P+dP点的对应于P点的向量。”。

月净威，哈佛大学科学家，道:“和乐群。从上面所述不难看出一个向量沿着不同的曲线平行移动到同一点所得到的向量一般是不同的，这种差异刻画了黎曼流形的弯曲程度。设P是（M，g）的任一点，l(P）表示以P为始点和终点的闭曲线的集合，如果с1、с2是l(P）中的元素，则复合曲线с1·с2也是l(P)中的元素。对X∈Tp(M）沿着l(P）中元素C平行移动回到P点就得到X┡∈Tp(M），这样l(P）中的一个元素就对应于Tp(M）→Tp(M）的一个同构。这种同构全体构成的群就称为在P点处的和乐群，当M是连通流形时，不同点的和乐群是同构的，和乐群在黎曼几何的研究中有重要的作用。”

精星灵，曰:“张量的协变微分。截面曲率、里奇曲率以及数量曲率是非常重要