第30章证明第五公设的问题（2 / 3）

一直线的两条直线，互相平行。

存在相似的多边形。过不在同一直线上的三点，可以做且仅能做一个圆。

罗氏几何：同一直线的垂线和斜线不一定相交。

垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。

不存在，相似的多边形。

过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。

从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。

所以罗氏几何中的一些几何事实，没有像欧式几何那样容易被接受。

但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实，作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。

1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。

这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

直到这时，长期无人问津的非欧几何，才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究，也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

精星灵，曰:“黎曼几何。欧氏几何与罗氏几何中，关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。”

欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。

罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。

那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？

黎曼几何，就回答了这个问题。

黎曼几何，是德国数学家黎曼创立的。

他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内，任何两条直线都有公共点(交点)。

在黎曼几何学中，不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

黎曼几何的模型，是一个经过适当“改进”的球面。

近代黎曼几何，在广义相对论里得到了重要的应用。

在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何，就是黎曼几何。

在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似