第13章解析函数元素（2 / 3）

学的基本概念的严格定义。

按照外尔的观点，黎曼曲面就是一维的复流形。

在一个曲面(局部与欧氏平面同胚的、连通的豪斯多夫空间)上，定义了一族局部参数（曲面的某一个开集上的一个连续单叶复值函数，也叫局部坐标），若在任意两个相邻的局部参数的定义域的公共部分上，其中的一个参数作为另一个参数的函数是解析的，并且这些参数的定义域覆盖了整个曲面，那么，这个曲面连同这族局部参数（叫做共形结构）就构成了一个黎曼曲面。复平面C或者C上任一个区域按其自然参数都是黎曼曲面。

在扩充复平面╦上，除了在C上已有一个自然参数外，再在区域{z││z│gt;0}（包括无穷远点）上令，得另一参数，而使╦成为一个黎曼曲面。

一个黎曼曲面到黎曼曲面里的连续映射称为是解析的，如果它用两个曲面上的局部参数表示出来是解析函数。

一个黎曼曲面到╦里的解析映射就是该曲面上的半纯函数（亚纯函数）。

黎曼曲面上的调和（或次调和）函数的定义为关于局部参数是调和（或次调和）的函数。

黎曼曲面的引入，大大地开扩了复变函数论的研究范围。

由紧曲面作成的黎曼曲面叫做闭黎曼曲面，否则就叫做开黎曼曲面。

若一个闭曲面（或开曲面）上的一维同调群（或模理想边界的一维同调群）的秩是2g，则称g(非负整数或无穷)为此黎曼曲面的亏格。

开曲面的亏格，可能为无穷。

两个黎曼曲面称为是共形等价的，如果存在一个从一个曲面到另一个曲面上的一一的解析映射（共形映射）。

同一个亏格g(ggt;1)的闭黎曼曲面的所有共形等价类组成所谓模空间。

黎曼首先发现，模空间中的元素由3g-3个复参数确定。

从模空间的研究中，产生出丰富多彩的泰希米勒空间的理论。

人们还把开黎曼曲面，作了分类。

不存在非常数的负次调和函数的开曲面叫做抛物型曲面，其他的开曲面就叫做双曲型曲面。

抛物型曲面，所成的类用OG表示。

不存在非常数的有界解析或调和函数，狄利克雷积分为有穷的解析或调和函数，或正调和函数的开曲面分别组成类OAB或OHB，OAD或OHD，或OHP。

在这些曲面类之间，存在如下的包含关系：按照黎曼本人的原始概念，黎曼曲面是╦的覆盖曲面。

所谓曲面愞是曲面F的覆盖曲面，是指存在曲面愞到曲面F里的映射，对于每一个慉∈愞，都存在慉和(慉)∈F的开邻和V，使得限制和V之间，拓扑等价于单位圆到自身的映