第14章单连通曲面（2 / 3）

=g(z)经参数t（叫做单值化参数）单值化了。

从而就解决了，著名的希尔伯特第22问题，即单值化问题。

在一个黎曼曲面上，若对每一个局部参数z都定义了，一个微分(z)dz（(z)是半纯函数），而与相邻的两个参数z和ζ对应的(z)dz和φ(ζ)dζ满足关系(z(ζ))·z┡(ζ)=φ(ζ)，则称在曲面上，定义了一个半纯微分。

半纯函数(或半纯微分)在某一点的零点或极点的级，等于在取定一个局部参数后，该函数（或该微分在这个参数下的表示形式中的系数）作为这个局部参数的函数，在该点的零点和极点的级。

黎曼－罗赫定理称:在一个亏格为g的闭曲面上，指定了点p1，p2，…，ps;q1，q2，…，qt和正整数k1，k2，…，ks;n1，n2，…，nt，令。

设以pi为至多ki级极点(或至少ki级零点，i=1，2，…，s)，并且以qi为至少ni级零点（或至多ni级极点，i=1，2，…，t）的所有半纯函数(或半纯微分)组成的复数域上的线性空间的维数为A（或B），那么，A=B+m-g+1。

这个定理，是闭黎曼曲面理论的一个基本结果；在一定条件下，也被推广到，开曲面和高维复流形……

精星灵，曰:“举例说明。黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给向其它曲线，流形或代数簇上的推广提供了直观的理解和动力。Riemann-Roch定理就是这种影响的最佳例子。令X为一个豪斯多夫空间(Hausdorffspace)。一个从开子集UX到C的子集的同胚称为图(chart).两个有重叠区域的图f和g称为兼容，如果映射fog-1和gof-1是在定义域上全纯的。若A一组相容的图，并且每个X中的x都在某个f的定义域中，则称A为一个图集(atlas)。当我们赋予X一个图集A，我们称(X，A)为一个黎曼曲面。如果知道有图集，我们简称X为黎曼曲面。不同的图集可以在X上给出本质上相同的黎曼曲面结构；为避免这种模糊性，我们有时候要求X为极大的，也就是它不是任何一个更大的图集的子集。根据佐恩引理(Zorn'sLemma)每个图集A包含于一个唯一的最大图集中。复平面C可能是最平凡的黎曼曲面了。映射f(z)=z(恒等映射)定义了C的一个图，而是C的一个图集.映射g(z)=z*(共轭)映射也定义了C的一个图而也是C的一个图集.图f和g不相容，所以他们各自给了C一个黎曼曲面结构。事实上，给定黎曼曲面X及其图集A，共轭图集B={f*:f∈A}总是不和A相容，因此赋予X一个不同的黎曼曲面结构。类似的，每个复平面的开子集可以自然的