第15章常数曲率（2 / 3）

并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。此外，建立了柯西－黎曼条件，真正使这方程成为复分析大厦的基石，揭示出复函数与实函数之间的深刻区别，黎曼映射定理。”

月净威，哈佛大学科学家，道:“黎曼流形。在微分流形以及黎曼几何中，一个黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上配备有一个对称正定的二阶协变张量场，亦即在每一点的切空间上配备一个正定二次型。给了度量以后，我们就可以像初等几何学中一样，测量长度，面积，体积等量。”

精星灵，曰:“简介。n维欧氏空间中，有自然的度量ds^2=(dx_1)^2++(dx_n)^2。它的矩阵表示就是，单位矩阵。”

月净威，哈佛大学科学家，道:“例子。欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。曲线和曲面的微分几何里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。”

精星灵，曰:“黎曼空间。爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。度量是内蕴性质。具有度量的空间就称为黎曼空间。”

月净威，哈佛大学科学家，道:“联络与曲率。流形上的黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）联络，并且它保持黎曼度量。这个联络称为这个黎曼度量的Levi-Civita联络。”

精星灵，曰:“Levi-Civita联络。有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。欧氏空间的联络就是通常意义上的向量函数的微分。”

月净威，哈佛大学科学家，道:“曲率。黎曼度量还诱导出曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度。曲率处处为零的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。德国数学家高斯最早研究了曲面上的曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。”

精星灵，曰:“黎曼几何学。德国数学家（G.F.）B.黎曼在19世纪中期所提出的几何学理论。1854年，他在格丁根大学发表的就职演说，题目是《论作为几何学基础的假设》，可以说是黎曼几何学的发凡。”

月净威，哈佛大学科学家，道:“时间1854年。德国数学家（G.F.）B.黎曼在19世纪中期所提出的几何学理论。1854年，他在格丁根大学发表的就职演说，题目是《论作为几何学基础的假设》，可以说是黎曼几何学的发凡。”

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